Opis:
Obliczenia konstrukcji inżynierskich coraz częściej odbywają się z
użyciem komputerów. Najpowszchniej wykorzystywaną melodąanalizy
statycznej i dynamicznej jest metoda elementów skończonych. Służą do
tego wyspecjalizowane programy komercyjne. Użytkownik przygotowuje do
nich swój układ danych i potem analizuje otrzymane wyniki. Trzeba jednak
zdawać sobie sprawę z faktu, że algorytm metody elementów skończonych
wykorzystuje wiele typowych numerycznych metod rozwiązywania
poszczególnych zagadnień analizy matematycznej. W ramach niniejszej
pracy omówiono: metody rozwiązywania układów równań liniowych, metody
rozwiązania problemu własnego, metody rozwiązania równań nieliniowych,
zagadnienia interpolacji i aproksymacji funkcji jednej zmiennej, metody
obliczania całek oznaczonych i metody rozwiązywania równań różniczkowych
pierwszego i drugiego rzędu.
Celem niniejszego skryptu jest
omówienie tych podstawowych algorytmów numerycznych w kontekście
wykorzystania ich do rozwiązania problemów konstrukcyjnych. Każdy
schemat numeryczny jest skrótowo omówiony (dokładniejsze omówienie
poszczególnych metod można znaleźć w pracach [3, 8, 12]), podane są
warianty rozwiązań i wzory stosowane w obliczeniach. Następnie pojawiają
się algorytmy zakodowane w języku systemu MATLAB. W każdym rozdziale
zamieszczone są przykładowe rozwiązania danego problemu numerycznego dla
wybranych zestawów danych.
Podręcznik przewidziany jest, ze względu
na dobór niektórych przykładów, dla studentów budownictwa, ale może też
być wykorzystywany przez uczących się w ramach innych specjalności.
Do prawidłowego zrozumienia i opanowania materiału przedstawionego w
niniejszym skrypcie należy znać podstawy analizy matematycznej,
mechaniki budowli i posiadać umiejętność posługiwania się programem
MATLAB.
Spis treści:
1. Wstęp
2. Układy równań liniowych
2.1. Wprowadzenie
2.2. Podział numerycznych metod rozwiązania i ich ogólne cechy
2.3. Metody eliminacyjne
2.3.1. Metoda eliminacji Gaussa
2.3.2. Metoda Jordana
2.4 Metody dekompozycyjne
2.4.1. Wprowadzenie
2.4.2. Metoda Gaussa-Doolittle‘a
2.4.3. Metoda Gaussa-Crouta
2.4.4. Metoda Choleskiego (Banachiewicza)
2.5. Metody przybliżone
2.5.1. Metoda iteracyjna Gaussa
2.5.2. Metoda Gaussa-Seidla
2.5.3. Metoda nadrelaksacji
2.6. Przykłady
2.6.!. Metoda Gaussa
2.6.2. Metoda Jordana
2.6.3. Odwrócenie macierzy metodą Jordana
2.6.4. Metoda Gaussa-Doolittle‘a
2.6.5. Metoda Gaussa-Crouta
2.6.6. Metoda Choleskiego
2.6.7. Metoda iteracyjna Gaussa
2.6.8. Metoda Gausa-Seidla
2.6.9. Metoda nadrelaksacji
3. Problem własny
3.1. Podstawy teoretyczne
3.1.1. Wprowadzenie
3.1.2. Sprowadzenie ogólnej postaci problemu własnego do postaci standardowej
3.1.3. Rozwiązanie postaci standardowej
3.1.4. Rozwiązanie standardowego problemu własnego metodą Jacobiego
3.1.5. Metoda potęgowa
3.1.6. Inne metody numerycznego rozwiązania problemu własnego
3.2. Przykłady
3.2.1. Poszukiwanie punktów zerowych wielomianu
3.2.2. Wektory własne
3.2.3. Metoda Jacobiego
3.2.4. Metoda potęgowa
3.2.5. Najmniejsza wartość własna metodą potęgową
3.2.6. Rozwiązanie problemu własnego dla ramy
4. Równania nieliniowe
4.1. Podstawy teoretyczne
4.1.1. Informacje ogólne
4.1.2. Metoda przeszukiwania
4.1.3. Metoda połowienia kroku
4.1.4. Metoda lokalnego minimum
4.1.5. Metoda Monte Carlo
4.1.6. Metoda siecznych
4.1.7. Metoda siecznych z przyspieszeniem
4.1.8. Metoda stycznych (Newtona)
4.1.9. Zmodyfikowane metody typu Newtona dla pierwiastków wielokrotnych
4.2. Przykłady
4.2.1. Metoda przeszukiwania
4.2.2. Metoda połowienia kroku
4.2.3. Metoda minimum lokalnego
4.2.4. Metoda siecznych
4.2.5. Metoda siecznych z przyspieszeniem
4.2.6. Metoda stycznych
4.2.7. Metoda Monte Carlo
5. Interpolacja
5.1. Wprowadzenie
5.2. Interpolacja liniowa
5.3. Interpolacja kwadratowa
5.4. interpolacja Newtona dla wielomianu dowolnego stopnia
5.5. Interpolacja wielomianami Czebyszewa
5.6. Interpolacja wielomianami Hermite‘a
5.7. Interpolacja wielomianami Lagrange‘a
5.8. Interpolacja szeregami Fouriera
5.9. Przykłady
5.9.1. Interpolacja liniowa
5.9.2. Interpolacja kwadratowa
5.9.3. Interpolacja sześcienna
6. Aproksymacja
6.1. Wprowadzenie
6.2. Aproksymacja interpolacyjna
6.3. Aproksymacja jednostajna
6.4. Metoda najmniejszych kwadratów - wariant liniowy
6.5. Ocena dokładności aproksymacji
6.6. Przykłady
6.6.1. Aproksymacja wielomianowa metodą najmniejszych kwadratów
7. Całki oznaczone
7.1. Wprowadzenie
7.2. Standaryzacja przedziału całkowania
7.3. Metody obliczania całek
7.3.1. Metoda Newtona-Cotesa
7.3.2. Metoda Gaussa
7.3.3. Iteracyjny algorytm Romberga
7.3.4. Metoda Monte Carlo
7.4. Przykłady
7.4.1. Metoda Newtona-Cotesa bez standaryzacji przedziału całkowania
7.4.2. Metoda Newtona-Cotesa ze standaryzacją przedziału całkowania
7.4.3. Całkowanie metodą Gaussa ze standaryzacją przedziału całkowania
8. Równania różniczkowe I rzędu
8.1. Wprowadzenie
8.2. Podział metod rozwiązywania równań różniczkowych 1 rzędu
8.2.1. Metoda Eulera
8.2.2. Metoda punktu środkowego
8.2.3. Metoda Rungcgo-Kutty
8.2.4. Metoda trapezów
8.2.5. Metoda Adamsa-Bashfortha-Moultona
8.3. Przykład
8.3.1. Zastosowanie algorytmu Eulera
8.3.2. Rozwiązanie metodą punktu środkowego
8.3.3. Rozwiązanie metodą Heuna
8.3.4. Rozwiązanie klasyczną metodą Rungego-Kutty
8.3.5. Rozwiązanie metodą trapezów
8.3.6. Rozwiązanie metodą Adamsa-Bashfortha-Moultona
9. Równania różniczkowe II rzędu
9.1. Wprowadzenie
9.2. Podział metod rozwiązywania równań ruch
9.2.1. Metoda superpozycji modalnej
9.2.2. Metoda różnic centralnych
9.2.3. Metoda Newmarka
9.3. Przykład
9.3.1. Rozwiązanie analityczne metodą superpozycji modalnej
9.3.2. Rozwiązanie metodą różnic centralnych
9.3.3. Rozwiązanie metodą Newmarka
Literatura
