Skrypt powstał po serii wykładów z przedmiotu Wstęp do logiki i teorii mnogości, przeprowadzonych w Politechnice Gdańskiej. Obejmuje on materiał objęty programem tego przedmiotu i przeznaczony jest dla studentów pierwszego semestru matematyki.

Skrypt podzielono na siedem rozdziałów. Przedstawiony w nich materiał obejmuje rachunek zdań i elementy logiki, rachunek zbiorów, kwantyfikatory, funkcje, relacje. Moce zbiorów oraz elementy algebry Boole’a. Całość materiału starano się przedstawić bardzo intuicyjnie z jednej strony, a dostatecznie poprawnie i formalnie z drugiej strony. Przedstawiono dowody prawie wszystkich twierdzeń prezentowanych na wykładach. Większość pojęć, własności i twierdzeń zilustrowano przykładami i rysunkami. Powinno to ułatwić czytanie i zrozumienie materiału objętego niniejszym skryptem. Jest to materiał stosunkowo łatwy, ale jest on bogaty w nowe pojęcia, symbole i formalizmy. W żadnym z rozdziałów nie przedstawiono omawianej problematyki w sposób wyczerpujący. W każdym przypadku przedstawiono podstawowe fakty. Zainteresowanych głębszym poznaniem prezentowanej tematyki odsyła się do cytowanej literatury, z której także korzystano opracowując ten skrypt.

Do korzystania z tego skryptu nie jest potrzebna znajomość żadnej teorii matematycznej. To właśnie elementarna znajomość materiału przedstawionego w tym skrypcie powinna ułatwić studentom czytanie podręczników, umożliwić słuchanie innych wykładów matematycznych oraz pozwolić na poznawanie nowych teorii. Ważnym celem tego przedmiotu jest także wdrożenie studentów do zwyczaju ścisłego formułowania myśli, do rozwijania w sobie umiejętności poprawnego wnioskowania i adekwatnego argumentowania.

Dla pełnego i biegłego opanowania przedstawionego materiału wskazane jest staranne czytanie skryptu, umiejętne słuchanie wykładu, nauczenie się definicji, poznanie dokładnych sformułowań twierdzeń, zrozumienie i zapamiętanie ich dowodów oraz wyćwiczenie w sobie umiejętności dowodzenia nawet intuicyjnie prostych i pozornie oczywistych twierdzeń oraz zwyczaju rozwiązywania zadań różnego stopnia trudności. Dla tych ostatnich potrzeb każdy rozdział zakończono wielką liczbą w większości typowych zadań i testem. Zadanie te wymagają znajomości definicji i twierdzeń z danego rozdziału. Ich rozwiązanie powinno doprowadzić do dobrego zrozumienia wcześniejszego materiału, wyrobienia umiejętności stosowania nabytej wiedzy oraz osiągnięcia niezbędnej biegłości myślowej i rachunkowej. A w końcu także do umiejętności dowodzenia nowych własnych twierdzeń.

Spis treści

1. Rachunek zdań

   1. Zdanie i formuły zdaniowe

   2. Wartości logiczne

   3. Tautologie

   4. Ekstensjonalność funktorów

   5. Kwadrat logiczny

   6. Reguły wnioskowania

   7. Metody dowodzenia twierdzeń

   8. Analiza rozumowań

   9. Ćwiczenia

2. Zbiory

   1. Czym jest zbiór?

   2. Zasada ekstensjonalności

   3. Podzbiory

   4. Działania na zbiorach

   5. Iloczyn kartezjański zbiorów

   6. Rachunek kwantyfikatorów

   7. Uogólniona suma i uogólniony iloczyn zbiorów

   8. Ciało zbiorów

   9. Aksjomatyka teorii mnogości

   10. Ćwiczenia

3. Indukcja matematyczna i rekurencja

   1. Liczby naturalne i indukcja matematyczna

   2. Relacja rekurencji

   3. Ćwiczenia

4. Funkcje

   1. Definicja funkcji

   2. Własność funkcji

   3. Objęcie i przedłużenie funkcji

   4. Operacje arytmetyczne na funkcjach

   5. Składnie funkcji

   6. Odwracalność funkcji

   7. Obrazy i przeciwobrazy

   8. Ćwiczenia

5. Relacje

   1. Pojęcie relacji

   2. Działania na relacjach

   3. Elementarne własności i typy relacji

   4. Relacja równoważności

   5. Częściowy porządek

   6. Elementy wyróżnione w częściowym porządku

   7. Kraty

   8. Dobry porządek

   9. Indukcja pozaskończona

   10. Równoważność aksjomatu wyboru, zasady dobrego uporządkowania i lematu Kuratowskiego – Zorna

   11. Ćwiczenia

6. Moce zbiorów

   1. Równoliczność zbiorów

   2. Moce zbiorów i porównywanie mocy zbiorów

   3. Zbiory przeliczalne, co najwyżej przeliczane i nieprzeliczane

   4. Zbiory mocy continuum

   5. Hipoteza continuum

   6. Ćwiczenia

7. Algebra Bolle’a

   1. Definicja, przykłady, podstawowe własności

   2. Relacja porządkująca w algebrze Boole’a

   3. Funkcje boole’owskie

   4. Analiza i synteza układów logicznych

   5. Ćwiczenia