Termin matematyka finansowa, ma co najmniej dwa znaczenia. Przedstawiciele nauk stosowanych (głównie ekonomiści) używają go w wąskim sensie dla rachunków związanych z wartością pieniądza w czasie i ciągami płatności. Ze względu na prostotę tych obliczeń trafniejsze wydaje się tu określenie arytmetyka, finansowa. Zagadnienia te można traktować jako wstęp do matematyki finansowej, która angażując bardzo wyrafinowane metody matematyczne (analizę funkcjonalną, stochastykę, teorię równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych) zajmuje się modelowaniem procesów giełdowych, wycenę instrumentów pochodnych, czy optymalizacja portfela.
Bardzo żywiołowy w ostatnich latach rozwój tej interdyscyplinarnej dziedziny wiedzy spowodowany jest rosnącym zainteresowaniem różnymi (często bardzo dziwnymi) instrumentami finansowymi. Niewątpliwą zachętą dla badaczy było przyznanie Nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii M. Scholesowi i R. Mertonowi w 1997 roku za wyprowadzenie wzoru na cenę opcji europejskiej.
Na rynku polskim (w przeciwieństwie do anglojęzycznego) niewiele jest podręczników do matematyki finansowej. Pierwszą polską książką (wydaną w 1998 roku), bardzo zresztą wartościową, jest przeglądowy podręcznik A. Werona i R. Werona [27]. Autorzy przedstawili w nim wszystkie chyba znaczące osiągnięcia związane zarówno z wyceną instrumentów pochodnych (w czasie dyskretnym i ciągłym), jak i modelowaniem rynku stóp procentowych i statystyką giełdy. Drugim w kolejności (i jak do tej pory ostatnim; rok wydania 2003) ,jest monografia J. Jakubowskiego i współautorów [11]. Książka ta, jak piszą Autorzy, może służyć doktorantom, czy słuchaczom wykładów monograficznych na wyższych latach studiów matematycznych. Dla mniej uświadomionych matematycznie Czytelników może okazać się
miejscami zbyt trudna. Jej znaczenia nie sposób jednak przemilczeć - napisana ścisłym językiem, prezentuje najnowsze osiągnięcia matematyki finansowej w świecie.
Większość materiału do podręcznika zaczerpnąłem z książki moich Nauczycieli, M. Capińskiego i T. Zastawniaka [7], a także z monografii Bing hama i Kiesela [2], J. Hulla [lO], L. Nielsena [20] i S. Pliski [23] oraz dwóch wspomnianych wcześniej podręczników polskich. Teorię procesów stochastycznych pisałem w oparciu o podręcznik Z. Brzeźniaka i T. Zastawniaka [5], S. Pliski [23]. Często pomocne były książki J. Jakubowskiego i R. Sztencla [12] oraz A. Plucińskiej i E. Plucińskiego [25].
Moim celem było napisanie podręcznika, który zawartością odpowiadałby programowi nauczania matematyki finansowej na licencjackich studiach matematycznych prowadzonych w Politechnice Radomskiej. Zależało mi na tym, by Studenci i Czytelnicy poznali metody i mechanizmy wyceny instrumentów pochodnych oraz podstawowe prawa inżynierii finansowej. Duży nacisk położyłem na modele dyskretne (do tej pory traktowane w polskiej literaturze matematycznej po macoszemu) ze względu na ich prostotę i uniwersalność (rozdziały 2-4). Rozdział 6 poświęcony jest "noblowskiemu" modelowi Blacka i Scholesa. Cała druga część zawiera podstawy inżynierii finansowej: własności i zastosowania kontraktów terminowych oraz różnych rodzajów opcji (europejskich, amerykańskich, a także egzotycznych). Ponieważ podręcznik przeznaczony jest dla słuchaczy studiów matematycznych nie można było zrezygnować z matematycznego formalizmu. Szczegółowo opisałem teoretyczne podstawy omawianych zagadnień: teorię procesów stochastycznych w czasie dyskretnym (rozdział 3), ciągłym (rozdział 5) oraz inne, ważne pojęcia matematyczne, które nie mieściły się w głównym wątku książki (dodatek).
Spis treści:
Przedmowa
1. Założenia o funkcjonowaniu rynku
I. Modele
2. Model jednoetapowy
2.1. Założenia
2.2. Arbitraż
2.3. Opcja europejska
2.4. Zupełność
3. Procesy stochastyczne w czasie dyskretnym
3.1. Podstawowe definicje
3.2. Przestrzenie z filtracją
3.3. Warunkowa wartość oczekiwana
3.4. Martyngały
3.5. Miary probabilistyczne
3.6. Nota bibliograficzna
4. Model wieloetapowy
4.1. Podstawowe założenia
4.2. Arbitraż
4.3. Opcja europejska
4.4. Przejście graniczne
4.5. Nota bibliograficzna
5. Elementy analizy stochastycznej
5.1. Zbieżność w przestrzeni L2
5.2. Warunkowa wartość oczekiwana
5.3. Proces Wienera
5.4. Całka stochastyczna
5.5. Wzór Ito
5.6. Stochastyczne równania różniczkowe
5.7. Zmiana miary
5.8. Nota bibliograficzna
6. Model ciągły
6.1. Podstawy
6.2. O modelu dyskretnym raz jeszcze
6.3. Wzór Blacka-Scholesa
6.4. Estymacja parametru zmienności
6.5. Wzór Mertona
6.6. Nota bibliograficzna
II. Elementy inżynierii finansowej
7. Kontrakty terminowe i opcje
7.1. Kontrakty forward i futures
7.2. Ogólna charakterystyka opcji europejskich
7.3. Nota bibliograficzna
8. Strategie zabezpieczające oparte na opcjach
8.1. Greckie parametry
8.2. Hedging dynamiczny
8.3. Hedging statyczny
8.4. Nota bibliograficzna
9. Opcje amerykańskie
9.1. Ogólne własności
9.2. Wycena
9.3. Nota bibliograficzna
10. Opcje egzotyczne
10.1. Opcje binarne
10.2. Opcje typu forward - start
10.3. Opcje wyboru
10.4. Nota bibliograficzna
A. Podstawowe struktury matematyczne
A.1. Przestrzenie probabilistyczne
A.2. Zmienne losowe
A.3. Rozkład normalny i lognormalny
A.4. Przestrzenie Banacha
Literatura
Indeks
|
