Modelując matematycznie zjawiska fizyczne często jedynym rozwiązaniem, jakie możemy uzyskać, jest rozwilżanie numeryczne, czyli przybliżone. Podobnie jest przy szukaniu rozwiązań zagadnień początkowo-brzegowych dla równań różniczkowych cząstkowych. Jedną z najczęściej stosowanych metod umożliwiających znalezienie rozwiązań przybliżonych dla tego typu zagadnień jest metoda różnic skończonych. Dzięki niej mamy możliwość konstruowania tzw. schematów różnic skończonych, których rozwilżanie jest właśnie przybliżonym rozwiązaniem danego zagadnienia. Niestety, nie wszystkie schematy dają "jednakowe" rozwiązania. Jak zatem stwierdzić, które schematy są lepsze? Głównym kryterium użyteczności schematu jest jego zbieżność, w praktyce trudna do zbadania. Okazuje się jednak (poprzez twierdzenie Laxa), że dla szerokiej klasy zagadnień początkowo-brzegowych (tzw. dobrze określonych) dla liniowych równań różniczkowych cząstkowych badanie zbieżności schematów jest równoważne badaniu jego stabilności. Tematem niniejszego skryptu są praktyczne metody badania stabilności schematów różnic skończonych dla jednowymiarowego równania przewodnictwa cieplnego (choć w skrypcie tym ograniczamy się tylko do jednowymiarowego równania przewodnictwa cieplnego, to należy podkreślić, że metody te można stosować również w przypadku innych liniowych równań cząsteczkowych, także wielowymiarowych; wówczas oczywiście niektóre warunki ulegają niewielkiej modyfikacji). Rozdział pierwszy zawiera podstawowe informacje dotyczące równań różniczkowych cząstkowych ze szczególnym uwzględnieniem równań cząstkowych rzędu drugiego. W rozdziale drugim znajduje się ogólny zarys metody różnic skończonych oraz podstawowe schematy stosowane dla jednowymiarowego równania ciepła. Podstawowa teoria dotyczące ich głównych właściwości numerycznych: zgodności, zbieżności i stabilności to treść rozdziału trzeciego. Podane jest tam również twierdzenie Laxa. W trzech kolejnych rozdziałach opisane s4 podstawowe metody badania stabilności schematów różnic skończonych. Rozdział czwarty zawiera opis metody macierzowej, rozdział piąty - metody von Neumanna, zaś rozdział szósty - metody pseudospektralnej. Do wszystkich tych metod podane zostały warunki konieczne i wystarczające stabilności schematów wraz z dowodami. Ostatni, siódmy rozdział, to krótkie porównanie tych trzech metod.
Chciałbym podziękować profesorom: Wojciechowi Okrasińskiemu i Andrzejowi Palczewskiemu za czas poświęcony na sprawdzenie tego skryptu i za uwagi, które przyczyniły się do jego ulepszenia. Podziękowania jestem również winien mojej żonie, Paulinie, za udostępnienie mi materiałów ze swojej pracy magisterskiej (napisanej pod panieńskim nazwiskiem Hamrol), z których część użyłem w niniejszym skrypcie. Dziękuję także mojej rodzinie za wsparcie, którego udzielała mi podczas jego pisania.

Spis treści:

Wstęp

1. Jednowymiarowe równanie przewodnictwa cieplnego

2. Wprowadzenie do metody różnic skończonych
2.1. Dyskretyzacja
2.2. Ilorazy różnicowe
2.3. Schematy różnic skończonych

3. Zgodność, stabilność, zbieżność
3.1. Zbieżność i zgodność
3.2. Stabilność
3.3. Twierdzenie Laxa

4. Metoda macierzowa
4.1. Wartości własne i normy macierzy
4.2. Kryterium stabilności schematów jednokrokowych
4.3. Kryterium stabilności schematów wielokrokowych
4.4. Twierdzenia o wartościach własnych
4.5. Przykłady

5. Metoda von Neumanna
5.1. Półdyskretna transformata Fouriera
5.2. Kryterium stabilności schematów jednokrokowych
5.3. Kryterium stabilności schematów wielokrokowych - podejście pierwsze
5.4. Kryterium stabilności schematów wielokrokowych - podejście drugie
5.5. Teoria wielomianów Schura i Neumanna
5.6. Przykłady

6. Metoda pseudospektralna
6.1. Pojęcia wstępne
6.2. Macierzowe twierdzenie Kreissa
6.3. Kryterium stabilności schematów różnic skończonych

7. Porównanie metod Skorowidz

Literatura